Лаборатория Механики космического полёта

1. Свотина Виктория Витальевна, заместитель директора НИИ ПМЭ МАИ, начальник лаборатории МКП, к. т. н.
   Elibrary, РИНЦ ID: 123989 / ORCID: 0000-0002-3779-9325 / Scopus: 8522351500 / Web of Science: S-2732-2016
   
2. Иванюхин Алексей Викторович, заместитель начальника лаборатории МКП, н. с. лаборатории МКП, к. т. н., доцент (кафедра 601)
   Elibrary, РИНЦ ID: 855832 / ORCID: 0000-0003-1765-6754 / Scopus: 56736798300 / Web of Science: H-2542-2016
3. Петухов Вячеслав Георгиевич, директор НИИ ПМЭ МАИ, г. н. с. лаборатории МКП, д. т. н., профессор (кафедра 601), член-корреспондент РАН
   Elibrary, РИНЦ ID: 7294 / ORCID: 0000-0002-9966-5488 / Scopus: 56235528700 / Web of Science: X-5876-2018
4. Константинов Михаил Сергеевич, г. н. с. лаборатории МКП, д. т. н., профессор (кафедра 601)
   Elibrary, РИНЦ ID: 2538 / ORCID: 0000-0002-0138-6190 / Scopus: 55396771600 / Web of Science: G-5635-2017
5. Ивашкин Вячеслав Васильевич, в. н. с. лаборатории МКП, д. ф.-м. н., профессор (кафедра СМ-3, МГТУ им. Н. Э. Баумана)
   Elibrary, РИНЦ ID: 3519 / ORCID: — / Scopus: 7101837322 / Web of Science: — 
6. Кульков Владимир Михайлович, в. н. с. лаборатории МКП, к. т. н.
   Elibrary, РИНЦ ID: 1142064 / ORCID: 0000-0003-4681-1004 / Scopus: 55687014800 / Web of Science: AAD-9036-2020
7. Ельников Роман Викторович, с. н. с. лаборатории МКП, к. т. н., доцент (кафедра 601)
   Elibrary, РИНЦ ID: 1120133 / ORCID: 0000-0002-8789-7169 / Scopus: 57193343605 / Web of Science: AAW-8452-2021
8. Николичев Илья Андреевич, м. н. с. лаборатории МКП, к. т. н., доцент (кафедра 601)
   Elibrary, РИНЦ ID: 959229 / ORCID: 0000-0002-7316-225X / Scopus: 57212605215 / Web of Science: AAW-8360-2021
9. Егоров Юрий Григорьевич, ведущий конструктор лаборатории МКП
   Elibrary, РИНЦ ID: 603163 / ORCID: 0000-0003-0405-5634 / Scopus: 57132353600 / Web of Science: AAE-2501-2022
10. Гостев Алексей Юрьевич, ведущий инженер лаборатории МКП
    Elibrary, РИНЦ ID: — / ORCID: 0009-0006-9684-1243 / Scopus: — / Web of Science: — 
11. Жуков Глеб Евгеньевич, инженер лаборатории МКП
    Elibrary, РИНЦ ID: — / ORCID: — / Scopus: — / Web of Science: — 
12. Кравченко Вадим Сергеевич, инженер лаборатории МКП
    Elibrary, РИНЦ ID: 1111118 / ORCID: 0000-0002-6358-9591 / Scopus: 57314202100 / Web of Science: — 
13. Сесюкалов Владимир Алексеевич, инженер лаборатории МКП, ассистент (кафедра 601)
    Elibrary, РИНЦ ID: 1135859 / ORCID: 0000-0002-6688-1838 / Scopus: 8522351500 / Web of Science: — 
14. Шевченко Виктория Витальевна, инженер лаборатории МКП
    Elibrary, РИНЦ ID: — / ORCID: 0000-0002-7507-7921 / Scopus: — / Web of Science: —

2019

1. Разработана гладкая модель деградации выходной электрической мощности солнечных батарей (СБ) космического аппарата (КА), которую можно эффективно применить для оптимизации траекторий многовитковых межорбитальных перелёта с помощью электроракетной двигательной установки (ЭРДУ) с целью снижения уровня радиационной деградации СБ под действием заряженных частиц радиационных поясов Земли. Модель представляет из себя обыкновенное дифференциальное уравнение для относительной мощности СБ, равной отношению текущей мощности СБ с учетом радиационной деградации к мощности СБ на начало перелёта. Правая часть уравнения является комбинацией элементарных функций относительной мощности и эквивалентного потока электронов 1 МэВ. Зависимость эквивалентного потока от пространственных координат и времени осредняется по времени на круговых орбитах, сглаживается кубическим сплайном и аппроксимируются двумерным сплайном 11 порядка. Разработано программное обеспечение для подготовки исходных расчётных данных для модели, расчёта коэффициентов полученного сплайна и расчёта деградации мощности СБ на траектории многовиткового перелёта КА на геостационарную орбиту с помощью ЭРДУ.
2. Разработаны математическая формулировка и предложения по методам решения задачи синтеза управления с обратной связью, минимизирующего требуемые затраты рабочего тела ЭРДУ, для возмущенных траекторий многовитковых межорбитальных перелетов с малой тягой. Математическая формулировка основана на необходимых условиях оптимальности для задач минимизации времени перелета и минимизации затрат рабочего тела ЭРДУ и включает в себя использование симметрий и асимптотических свойств оптимальных траекторий. Предложения по методу решения задачи синтеза управления с обратной связью, минимизирующего затраты рабочего тела ЭРДУ, включает в себя: (1) однократный расчет таблицы референсных начальных значений сопряженной к массе переменной на той же трехмерной сетке параметров начальных орбит, что и в ранее реализованном подходе квазиоптимального управления с обратной связью для задачи оптимального быстродействия; (2) методику пересчета референсного значения сопряженной к массе переменной к ее текущему значению для заданных параметров оскулирующей орбиты, текущей массы КА, тяги и удельного импульса ЭРДУ; (3) методику расчета функции переключения по интерполированным значениям сопряженных переменных, текущим значениям фазовых переменных и заданному значению регулировочного коэффициента. При фиксации времени перелета требуется решение однопараметрической краевой задачи для системы дифференциальных уравнений движения КА с предлагаемым видом управления с обратной связью для определения численного значения регулировочного коэффициента. При длительности перелета, достаточно близкой к минимальной, разработанный подход обеспечивает расчет управления с обратной связью, близкого к оптимальному управлению, минимизирующему затраты рабочего тела ЭРДУ.
3. Разработан метод решения задач на минимум тяги ЭРДУ и максимум полезной массы КА для комбинированной схемы выведения на геостационарную орбиту. Рассмотрена схема перелёта с низкой околоземной орбиты (опорной орбиты) на геостационарную орбиту КА с маршевой ЭРДУ, в рамках которой разгонный блок выводит КА на некоторую промежуточную орбиту (параметры которой нужно оптимизировать), после чего КА довыводится на конечную орбиту с помощью маршевой ЭРДУ. Получены необходимые условия оптимальности в обеих рассматриваемых задачах, включающие необходимые условия оптимальной стыковки участков перелета с большой и малой тяги и необходимые условия оптимальности для величины тяги ЭРДУ. Кроме того, для задачи на максимум полезной массы КА получены необходимые условия оптимальности удельного импульса ЭРДУ. Метод решения задач на минимум тяги ЭРДУ и максимум полезной массы КА для комбинированной схемы выведения, заключается в использовании принципа максимума для сведения задачи сквозной оптимизации траектории перелета с участками большой и малой тяги к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для обеспечения вычислительной устойчивости и сходимости метода, использовалось численное осреднение дифференциальных уравнений оптимального движения, метод продолжения по параметру и последовательное решение задач на минимум реактивного ускорения, минимум тяги и максимум полезной массы. Для решения последней задачи использовалась упрощенная массовая модель КА с маршевой ЭРДУ, позволяющая оценить полезную массу по известным значениям начальной массы КА, требуемой массе рабочего тела ЭРДУ, тяги и удельного импульса ЭРДУ.
4. Получены условия оптимальности гелиоцентрических траекторий КА с солнечной ЭРДУ с использованием аппроксимации экспериментально полученных регулировочных характеристик двигателей, включающих в себя зависимости тяги и удельного импульса от доступной электрической мощности. Рассмотрены случаи использования поворотных и неподвижно закрепленных панелей солнечных батарей КА, используемых в качестве первичного источника энергии в бортовой системе электропитания. Для обоих случаев получен общий вид необходимых условий оптимальности для произвольной зависимости тяги и удельного импульса тяги ЭРДУ от электрической мощности. Зависимости тяги и удельного импульса ЭРДУ от потребляемой мощности определялись в результате экспериментальных испытаний. Для экспериментального образца стационарного плазменного двигателя СПД-100ВТ были получены зависимости тяги и удельного импульса тяги в диапазоне электрической мощности от 1000 до 3000 Вт. При таком диапазоне изменения мощности возможна реализация перелетов КА с ЭРДУ к Марсу и астероидам, находящимся на гелиоцентрическом удалении до 1.73 а.е. При постоянном анодном напряжении 300 В зависимости тяги и удельного импульса от мощности в заданном диапазоне с высокой точностью аппроксимируются полиномами четвертого порядка, что позволило получить в явном виде все необходимые условия оптимальности перелета.
5. Разработаны предложения по виду регуляризирующего преобразования независимой переменной и получены результаты исследования эффективности регуляризации дифференциальных уравнений оптимального движения в задаче с переключениями тяги при использовании сглаженной функции переключения. Рассмотрены уравнения движения КА с ЭРДУ, в которых в качестве независимой переменной вместо времени используется вспомогательная долгота (угол, связанный с истинной долготой), а для регуляризации уравнений движения со сглаженной аппроксимацией релейной функции тяги используется преобразование вспомогательной долготы к новой независимой переменной — фиктивной вспомогательной долготе, обеспечивающей растяжение масштаба по этой новой независимой переменной в окрестности точек переключения тяги, то есть в окрестности нуля функции переключения. Близким известным аналогом такого преобразования в небесной механике является преобразование Зундмана, обеспечивающее растяжение фиктивного времени при близком сближении КА с притягивающим центром. Производная от вспомогательной долготы по фиктивной вспомогательной долготе устанавливается равной корню квадратному из суммы квадрата функции переключения и малого положительного слагаемого. Такое определение новой независимой переменной позволило повысить эффективность (скорость и точность) численного интегрирования дифференциальных уравнений оптимального движения со сглаженной функцией тяги в конце процесса продолжения, когда сглаженное представление функции тяги достаточно близко к релейной функции. Численные эксперименты продемонстрировали работоспособность и устойчивость численного метода, основанного на предложенных подходах, при оптимизации траекторий межорбитальных перелетов, содержащих несколько сотен витков вокруг притягивающего центра.
6. Разработаны математическая формулировка и предложения по устойчивым методам оптимизации траекторий межпланетных КА с ЭРДУ с учетом притяжения Солнца и планет на всех участках перелета. Формулировка задачи использует необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума для дифференциальных уравнений движения КА с ЭРДУ с учетом притяжения Земли, Луны и Солнца на всех участках траектории. В качестве примера рассмотрена задача оптимизации траектории перелета Земля-Земля-Венера с гравитационным маневром у Земли для обеспечения условий подлета к Венере, требуемых для дальнейшего формирования гелиоцентрической орбиты КА с малым радиусом перигелия и высоким наклонением. Разработаны предложения по устойчивому методу решения задачи, заключающиеся в решении последовательности усложняющихся задач, начиная с задачи оптимизации траектории в рамках метода точечных сфер действия, оптимизации отдельных участков траектории и заключительной сквозной оптимизации всей траектории.

Публикации

1. Ivanyukhin A.V., Petukhov V.G. Low-Energy Sub-Optimal Low-Thrust Trajectories to Libration Points and Halo-Orbits. Cosmic Research, 2019, No. 5, Vol. 57, pp. 378–388. DOI: 10.1134/S0010952519050022
2. Konstantinov M.S. Comparative Design and Ballistic Analysis of Using Chemical and Electric Propulsion Systems in the Solar Probe Project. Cosmic Research, 2019, Vol. 57, pp. 325–338. DOI: 10.1134/S0010952519050046
3. Petukhov V.G. Application of the Angular Independent Variable and Its Regularizing Transformation in the Problems of Optimizing Low-Thrust Trajectories. Cosmic Research, 2019, No. 5, Vol. 57, pp. 351–363. DOI: 10.1134/S001095251905006X
4. Petukhov V.G., Ivanyukhin A.V., Woo S.W. Joint Optimization of Control and Main Trajectory and Design Parameters of an Interplanetary Spacecraft with an Electric Propulsion System. Cosmic Research, 2019, No. 3, Vol. 57, pp. 188–203. DOI: 10.1134/S0010952519030079
5. Петухов В.Г., Паинг Сое Ту У Оптимизация многовитковых траекторий межорбитального перелета с идеально-регулируемым двигателем малой тяги. Известия РАН. Энергетика, 2019, № 3, с. 140–154. DOI: 10.1134/S0002331019030154
6. Петухов В.Г., Чжоу Жуи Расчет возмущенной импульсной траектории перелета между околоземной и окололунной орбитами методом продолжения по параметру. Вестник Московского авиационного института, 2019, № 2, том 26, с. 155-165.
7. Старченко А.Е. Сглаживание функции эквивалентного потока в задаче минимизации деградации солнечных батарей при выведении на геостационарную орбиту. Вестник «НПО имени С.А. Лавочкина», № 2, выпуск 44, с. 65-73. DOI: 10.26162/LS.2019.44.2.007
8. Starchenko A.E. Trajectory optimization of a low-thrust geostationary orbit insertion for total ionizing dose decrease, Cosmic Research, 2019, Vol. 57, No. 4, pp. 289–300. DOI: 10.1134/S0010952519040063
9. Starchenko A.E. Minimizing the degradation of triple junction solar array of a spacecraft during geostationary orbit insertion, Cosmic Research, 2019, Vol. 57, No. 5, pp. 364–377. DOI: 10.1134/S0010952519050083

2020

1. Разработаны два метода оптимизации межорбитальных перелётов космических аппаратов (КА) с электроракетной двигательной установкой (ЭРДУ), учитывающих радиационную деградацию солнечных батарей (СБ) при пересечении радиационных поясов Земли во время перелётов на высокие орбиты, в частности геостационарную орбиту (ГСО). Методы позволяют решать двухкритериальную задачу оптимизации минимизации продолжительности перелёта и максимизации остаточной мощности СБ на конец срока активного существования. В первом методе предполагается, что вся доступная для ЭРДУ электрическая мощность СБ используется ЭРДУ. Во втором методе предполагается что начальная мощность СБ выбрана с избытком таким образом, чтобы ЭРДУ на всех участках выведения могла работать в режиме постоянной номинальной мощности. Для расчёта генерируемой СБ выходной мощности использовалась сглаженная модель деградации, разработанная в рамках Проекта в 2019 году. Сформулирована математическая постановка решения задачи двумя методами с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина, аналитически решено уравнение, сопряженное к относительной мощности. Получены траектории перелёта и программы управления ЭРДУ для перелёта с ряда эллиптических промежуточных орбит на ГСО.
2. Разработаны два варианта метода синтеза управления с обратной связью КОУСОС-М, минимизирующего требуемые затраты рабочего тела ЭРДУ, для возмущенных траекторий многовитковых межорбитальных перелетов с малой тягой. Первый метод требует проведения большой предварительной однократной работы и обеспечивает близость управления к оптимальному на слабо возмущенных траекториях. Второй метод является упрощением первого и обеспечивает близость управления к оптимальному на слабо возмущенных траекториях при длительности перелета, близкой к минимальной. Оба варианта управления устойчивы к возмущениям. Для их синтеза был проведен дополнительный анализ осредненной задачи оптимизации многовитковых траекторий, обнаружена возможность разделения этой задачи на динамическую и параметрическую части, получено аналитическое выражение для сопряженной к массе переменной.
3. Разработан метод совместной оптимизации траектории и основных проектных параметров КА с ЭРДУ в задаче выведения на геостационарную орбиту с комбинацией двигателей большой и малой тяги. Свойства симметрии задачи, асимптотические свойства многовиткового оптимального перелета с малой тягой и использование укрупненной массовой модели КА с ЭРДУ позволили свести задачу максимизации полезной массы КА с заданным временем выведения на геостационарную орбиту к задаче безусловной максимизации полезной массы как функции от 4 или 5 неизвестных параметров. К этим параметрам относятся наклонение, радиусы перигея и апогея промежуточной орбиты (орбиты включения ЭРДУ), удельный импульс ЭРДУ и, при использовании трехимпульсной схемы перелета с большой тягой между начальной (опорной) и промежуточной орбитами — максимальный радиус апоцентра на траектории этого перелета. Задача безусловной максимизации решается либо прямым методом, либо сводится к решению системы 4 или 5 нелинейных уравнений методом продолжения по параметру. Для точного вычисления требуемых производных могут использоваться высокоточные методы дифференцирования с помощью мультикомплексных, гипердуальных или комплексных дуальных чисел. В результате решения этой задачи определяются все параметры двух- или трехимпульсного перелета между опорной и промежуточной орбитами, а также масса рабочего топлива разгонного блока, все параметры укрупненной массовой сводки КА, включая начальную массу КА и массу рабочего тела ЭРДУ, оптимальные параметры промежуточной орбиты, длительность участка перелета с ЭРДУ, тяга, удельный импульс и потребляемая электрическая мощность ЭРДУ и требуемая электрическая мощность системы электроснабжения КА.
4. Разработан метод оптимизации траектории межпланетного перелета космического аппарата с электроракетной двигательной установкой в модели движения, учитывающей гравитационное воздействие нескольких небесных тел на всей траектории перелета. Как начальное приближение используется решение задачи в традиционной постановке, когда проектирование траектории межпланетного перелета проводится с использованием метода грависфер нулевой протяженности. Метод предполагает разбиение всей траектории перелета на участки, анализ каждого из которых выполняется с учетом гравитационного притяжения нескольких небесных тел. На траектории перелета вводятся несколько контрольных точек траектории, условия движения КА в которых (радиус вектор и вектор скорости) считаются известными из решения задачи начального приближения. На последовательных этапах метода, выбор параметров закона управления оптимальным движением КА проводится так, чтобы обеспечить известные из начального приближения условия движения в очередной контрольной точке траектории. При этом условия движения в предыдущей контрольной точке траектории не анализируются. На последнем этапе методики проводится сквозная оптимизация траектории перелета. При этом условия движения в промежуточных контрольных точках траектории не ограничиваются.
5. Разработан метод решения задачи определения оптимальной последовательности облета астероидов в рамках возможной многоцелевой исследовательской миссии КА с маршевой ЭРДУ. В основу данного метода легло решение задачи определения перелетной траектории КА между соседними узлами (астероидами) в рамках анализируемой цепочки. Для построения соответствующей перелетной траектории использовался подход, основанный на решении задачи терминального управления с интегральным ограничением. При этом рассматриваемая задача оптимального управления решалась с использованием математического аппарата динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана применялся в дискретной форме. Основное функциональное уравнение, отвечающее рассматриваемой задаче терминального наведения с интегральным ограничением, решалось с использованием рекуррентного подхода. Для обеспечения процедуры рекуррентного восстановления функции Беллмана был предложен специальный алгоритм трансформации фазового состояния КА. Разработана численная процедура рекуррентного восстановления функции Беллмана, использующая в своей основе многомерную линейную интерполяцию по сетке возможных фазовых состояний рассматриваемой динамической системы. Для обеспечения устойчивости вычислительного процесса решения и с целью оптимизации требуемого количества вычислений определены все необходимые интервалы дискретизации. В результате был разработан подход позволяющий достаточно просто и эффективно строить перелетную траекторию КА. С помощью данного подхода удается получить массово-энергетические оценки затрат при реализации перелетов КА в рамках анализируемой цепочки астероидов. На основе этого проводится решение основной задачи — выбора оптимальной последовательности облета среди N заранее выбранных объектов, посредством последовательного варьирования узлов цепочки.

Публикации

1. Ельников Р.В. Использование функций Ляпунова для вычисления локально-оптимального управления вектором тяги при межорбитальном перелете с малой тягой, Космические исследования, 2021, Т. 59, № 3, стр. 255-264. DOI: 10.31857/S0023420621030043
2. Ivanyukhin A.V. Existence Domain for Solutions of Optimal Control Problems for Bounded-Thrust Spacecrafts, Journal of Mathematical Sciences, 2019, Vol. 239, pp. 817-839. DOI: 10.1007/s10958-019-04328-4
3. Konstantinov M.S. Analysis of the viability of using of the sequence of gravitational maneuvers in the opposite points of the planet orbit, Advances in the Astronautical Sciences, 2021.
4. Konstantinov M.S. Expansion of the transport capabilities of the space system based on the proton-m rocket with the use of electric propulsion and a gravitational maneuver near the earth at the beginning of an interplanetary flight, Advances in the Astronautical Sciences, 2020, Vol. 170, pp. 229-248.
5. Konstantinov M.S. Method of designing interplanetary trajectories of a SC with EP within the problem of many-bodies. AIP Conference Proceedings, 2021, 2318 (1): 110019. DOI: 10.1063/5.0035791
6. Petukhov V.G., Ivanyukhin A.V. Low energy trajectories to the Earth-Moon libration points and to halo-orbits, Advances in the Astronautical Sciences, 2021.
7. Starchenko A.E. Equivalent Flux Function Smoothing in the Problem of Solar Cells Radiation Degradation Minimization During a Low-Thrust Geostationary Orbit Insertion. Solar System Research, 2020, Vol. 54, pp. 621–629. DOI: 10.1134/S0038094620070199

2022

1. Получены необходимые условия оптимальности многовитковых траекторий перелета с малой тягой между заданными эллиптическими околоземной и окололунной орбитами, включая орбиты со свободными значениями аргументов перигея и долгот восходящего узла, а также перелеты со стыковкой геоцентрического и селеноцентрического участков траектории в точке либрации L1 системы Земля-Луна либо в оптимальной точке. Необходимые условия оптимальности получены для постановки задачи оптимизации траекторий с фиксированным временем стыковки геоцентрического и селеноцентрического участков перелета, с фиксированной угловой дальностью этих участков и со свободным временем перелета для математических моделей идеально-регулируемого двигателя и двигателя ограниченной тяги с постоянной скоростью истечения в постановках задач минимизации затрат топлива или величины тяги.
2. Разработан метод оптимизации многовитковых траекторий перелета между околоземной и окололунной орбитами с минимальными затратами топлива, не требующий задания начального приближения для неизвестных значений сопряженных переменных. Для применения разработанного метода достаточно задания основных параметров КА (начальная масса, заданное значение тяги, величина минимальной тяги для корректировки угловых дальностей, удельный импульс), параметров начальной и конечной орбит, времени прохождения точки либрации L1 или оптимальной точки стыковки, а также начального приближения для угловой дальности геоцентрического и селеноцентрического участков.
3. Разработан метод оптимизации траекторий перелета космических аппаратов с двигателем большой тяги в импульсном приближении в рамках задачи двух тел, основанный на теории базис-вектора Лоудена и метода продолжения по параметру. На основе аналитической формы записи изменения базис-вектора задача сведена к системе нелинейных уравнений. Для полученной системы уравнений построен алгоритм решения на основе метода продолжения по параметру. Использование метода продолжения позволило устранить проблему выбора начального приближения, так как позволяет использовать решение с n – 1 числом импульсов как начальное приближение для решения с n импульсами, и тогда метод продолжения по параметру сводит процесс решения к интегрированию серии задач Коши. В качестве параметра продолжения предложено использовать момент приложения дополнительного импульса. Данный подход позволяет исследовать проблему множественности решений с помощью анализа бифуркации решений в процессе продолжения.
4. Разработана численная реализация метода оптимизации импульсных перелётов с помощью поэтапного введения импульсов на основе использования аналитического решения сопряжённой системы (базис-вектора Лоудена) в ограниченной задаче двух тел.
5. Разработана программа для массивного параллельного решения задачи Ламберта на графических процессорах с помощью универсального решения для кеплеровского движения и функций Штумпфа на основе технологии CUDA C/C++. Входными данными является файл с параметрами орбиты космического аппарата с шагом в n дней. Программа запускает параллельное решение задачи, количество запущенных параллельных задач определяется количеством исходных данных и пропускной способностью видеокарты.
6. Разработан ряд алгоритмов решения задачи маршрутизации при облёте группы объектов на основе динамического программирования. Полученные алгоритмы построены на основе двух комбинаторных задач: задаче коммивояжёра и задачи о рюкзаке, а также использовании космических маневров в постановке задачи пролёта и сопровождения, решение которых строится на основе решения задачи Ламберта.
7. Проведен анализ структуры семейств локально-оптимальных решений замкнутых межпланетных перелетов типа «Земля-астероид-Земля» с малой тягой. В качестве возможных целей космической миссии малого КА рассмотрено одиннадцать околоземных астероидов. Было выявлено, что наиболее легко достижимыми объектами с точки зрения затрат рабочего тела электроракетной двигательной установки являются объекты: 1982 DB, 1996 FG3, 2008 HJ. Для данных трех астероидов был проведен проектно-баллистический анализ, позволивший определить основные параметры замкнутых перелетов.
8. Разработан метод проектирования импульсных траекторий перелета в окрестность треугольных точек либрации системы Земля-Луна. Рассмотрен ряд примеров, позволяющих судить о работоспособности предлагаемых подходов для проектирования двух- и трехимпульсных схем перелета в окрестность точек L4 и L5 системы Земля-Луна. В частности, проанализирован ряд двух- и трехимпульсных траекторий перелета в окрестность треугольной точки либрации L4. Проведенный анализ показывает, что использование трехимпульсной схемы перелета позволяет снизить суммарный импульс скорости с 4 км/с до 3,51 км/с по сравнению с двухимпульсной схемой. Вместе с тем необходимо отметить, что длительность выведения по трехимпульсной схеме должна быть не менее одного месяца (против 5 суток для оптимального двухимпульсного перелета).
9. Разработан метод проектирования низкоэнергетического перелета на низкую окололунную орбиту КА с двигателем большой тяги. Основная идея разработанного метода — сужение класса рассматриваемых перелётных траекторий. Предполагается, что КА попадает в окрестность Луны через окрестность точек либрации L1 или L2 системы Земля — Луна. На характеристики движения КА, при его проходе окрестности точки либрации, накладываются несколько ограничений. В частности, предполагается, что радиусы апсидальных точек оскулирующей геоцентрической орбиты КА в момент его пролета через окрестность точки либрации равны радиусам апсидальных точек оскулирующей геоцентрической орбиты точки либрации. Выполнение этих условий может обеспечить отрицательную величину константы энергии селеноцентрической траектории КА и временный «захват» Луной КА.
10. Анализ свойств низкоэнергетических лунных перелетов был выполнен при численном исследовании нескольких полученных траекторий низкоэнергетических перелетов. Эти траектории условно можно разбить на траектории трех типов. На всех полученных траекториях низкоэнергетического перелета на значительном интервале движения проекция гравитационного солнечного возмущения на направление геоцентрической скорости КА положительна, что обеспечивает увеличение орбитальной энергии, радиусов перигея и апогея оскулирующей геоцентрической орбиты КА. Проекция возмущающего земного ускорения на направление селеноцентрической скорости на селеноцентрической траектории отрицательна. Почти на всей траектории величина этой проекции значительна (порядка 1 мм/с²). Это обеспечивает убывание энергии селеноцентрического движения КА и временный захват Луной космического аппарата. При низкоэнергетических лунных перелетах с выведением КА на низкую круговую окололунную орбиту высотой 100 км удается уменьшить требуемый тормозной импульс скорости при переходе на конечную окололунную орбиту до 632-670 м/с. Такая величина импульса скорости существенно меньше (более чем на 17 %) тормозного импульса скорости в традиционных схемах лунных перелетов, однако длительность перелета существенно увеличивается (с 4-5 суток до более трех месяцев).
11. Для ответа на вопрос о целесообразности прохождения окрестности точек либрации L1 и L2 системы Солнце — Земля на траектории низкоэнергетического перелета к Луне находилось минимальное расстояние КА от упомянутых точек либрации системы Солнце — Земля на низкоэнергетических траекториях. Минимальное сближение КА с точкой либрации L1 (125 тыс. км) наблюдалось в реализованном проекте GRAIL. Во всех остальных исследованных траекториях минимальное расстояние было существенно больше (600...800 тыс. км). Приведенные результаты анализа показывают, что траектории низкоэнергетического лунного перелета проходят относительно далеко от точек либрации L1 и L2 системы Солнце-Земля и не подтверждают целесообразность близкого пролета этих точек либрации на низкоэнергетических лунных перелетах.

Публикации

1. Ivanyukhin A.V., Petukhov V.G., Yoon S.W Minimum-Thrust Transfers to the Moon, Cosmic Research, 2022, Vol. 60, pp. 481-490. DOI: 10.1134/S0010952522050033
2. Константинов М.С., Аунг Мьо Тант Использование точки либрации L2 системы Земля-Луна при перелете космического аппарата на окололунную орбиту, Космонавтика и ракетостроение, 2022, № 3(126), с. 30-43.
3. Программа для ЭВМ для массивно-параллельного решения задачи Ламберта на графическом процессоре с помощью универсальной формы решения для кеплеровского движения (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022685681 от 27.12.2022, авторы: Кравченко Вадим Сергеевич, Иванюхин Алексей Викторович).

2023

1. Рассмотрена задача оптимизации межпланетных траекторий космических аппаратов (КА) с малой тягой, включающих участок движения вокруг планеты отправления (Земли), гелиоцентрический участок траектории и участок движения вокруг планеты назначения с учетом притяжения планет и Солнца на всех участках траектории. Разработан метод сквозной оптимизации таких траекторий, основанный на применении принципа максимума и метода продолжения. Численные результаты показали, что за счет сквозной оптимизации с учетом действия возмущающих ускорений на всех участках траектории существует возможность снижения требуемых затрат характеристической скорости для межпланетных перелетов между околоземной орбитой и орбитой вокруг Марса и Юпитера на величину около 2000 м/с по сравнению с оценкой, полученной с применением традиционного подхода на основе метода точечных сфер действия.
2. Разработан быстродействующий параллельный алгоритм оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов с конечной тягой с использованием комбинации метода многократной стрельбы, метода продолжения и высокоточного дифференцирования методом комплексного шага для решения краевой задачи принципа максимума. Разработанный алгоритм обладает повышенной вычислительной эффективностью и устойчивостью по сравнению с используемыми ранее алгоритмами, основанными на сквозном интегрировании всей траектории.
3. Разработана общая методика анализа задачи оптимизации n-импульсного перелёта как комбинаторной задачи с конечным числом вариантов на основе ранее полученного в рамках настоящего проекта метода введения дополнительного (n+1) импульса скорости в перелёт, уже имеющий n импульсов, с помощью метода продолжения и рассмотрение в качестве потенциального момента приложения импульса отрезка времени между двумя уже имеющимися в решении импульсами скорости.
4. Разработано графовое представление n-импульсного межорбитального перелёта, включающее в себя все возможные варианты оптимальных импульсных перелётов рассматриваемой задачи. Это представление позволяет провести полный анализ всех вариантов импульсного перелёта, удовлетворяющих необходимому условию оптимальности в форме базис-вектора Лоудена и выбрать из них глобально оптимальное решение.
5. Предложен новый эффективный алгоритм решения задачи двухимпульсного перелёта между произвольными орбитами, обладающий хорошими вычислительными характеристиками. Рассмотрена задача безусловной минимизации для оптимизации межорбитальных перелётов на основе разработанного метода, неизвестными в которой служат положения начальной и конечной точек на заданных начальной и конечной орбите. Решение этой задачи построено на основе надстройки над предложенным методом оптимизации двухимпульсного перелёта градиентного метода.
6. Разработана общая постановки задачи оптимизации низкоэнергетических WSB (weak stability boundary) перелётов с комбинированной двигательной установкой большой и малой тяги. Постановка включает в себя использование WSB-траекторий сформированных устойчивыми многообразиями точек либрации L1 и L2 системы Земля-Луна и гало-орбит в их окрестности в возмущённой (эфемеридной) модели четырёх тел с учетом влияния Солнца, и перелёт с использованием комбинации двигателей большой и малой тяги. При этом предполагается, что большая тяга используется на этапе отлёта с низкой околоземной орбиты для перевода с помощью разгонного блока космического аппарата на промежуточную орбиту, с которой космический аппарат совершает перелёт с помощью двигателя малой тяги на WSB-траекторию. Участок перелета с большой тягой рассматривался в импульсной постановке, а с малой тягой — в рамках математической модели перелета с двигателем ограниченной мощности.
7. Для задачи оптимизации низкоэнергетических WSB-перелётов с комбинированной двигательной установкой большой и малой тяги с низких околоземных орбит на окололунные орбиты получен полный набор необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, позволяющий распределить затраты характеристической скорости между участками работы большой и малой тяги оптимальным образом. Для решения краевой задачи принципа максимума использовался метод продолжения по параметру.
8. Проведён анализ влияния параметров промежуточной орбиты на эффективность комбинированной схемы низкоэнергетического WSB-перелёта — относительной конечной массы космического аппарата и времени перелёта. Получена зависимость относительной конечной массы от времени перелёта по комбинированной схеме. Выполненный анализ позволил оценить энергетические затраты реализации подобных миссий и может служить основой для анализа перспективных проектов исследования Луны.
9. Разработан метод проектирования траекторий перелета КА с электроракетной двигательной установкой с использованием аппарата функций Ляпунова. Проанализирован ряд тестовых задач перехода КА с эллиптической геопереходной на геостационарную орбиту. Полученные решения оказались близкими по критерию эффективности (времени перелета) к оптимальным решениям, получаемым в рамках формализма принципа максимума, при этом трудоемкость решения задачи оказывается на порядок ниже.
10. Осуществлен анализ структуры семейств локально-оптимальных решений низкоэнергетических импульсных траекторий перелета в окрестность треугольных точек либрации системы «Земля-Луна». Получен ряд опорных решений. Затраты характеристической скорости КА (после выведения на отлетную траекторию и отделения разгонного блока) на полученных решениях в большинстве случаев не превышают 240 м/с.
11. Разработан метод проектирования низкоэнергетических траекторий перелета в окрестность коллинеарных точек либрации системы «Земля — Луна» с малой тягой на основе применения функций Ляпунова. Метод показал хорошую сходимость при нахождении решений ряда тестовых задач для широкого диапазона реактивного ускорения, а также эпох запуска.
12. Основным результатом анализа проблемы низкоэнергетических лунных перелетов с использованием гравитационного маневра у Луны для КА с большой тягой можно считать доказательство того, что такие перелеты существуют. Показано, что использование гравитационного маневра у Луны на начальном этапе перелета в схеме низкоэнергетического перелета к Луне дает возможность уменьшить требуемый импульс скорости при старте с низкой околоземной орбиты и суммарный импульс скорости на примерно 70 м/с. Разработанный метод проектирования лунных низкоэнергетических перелетов с использованием гравитационного маневра у Луны на начальном этапе перелета основывается на использовании проанализированных свойств низкоэнергетических перелетов без использования лунного гравитационного маневра. Анализ этих свойств дает возможность получать начальное приближение для выбираемых характеристик схемы перелета. Важнейшей характеристикой рассматривается дата гравитационного маневра. Эта дата и параметры гравитационного маневра выбирается в результате анализа положения Луны относительно плоскости эклиптики, а также положения Солнца относительно геоцентрического радиуса вектора Луны и линии апсид геоцентрической траектории КА после гравитационного маневра.
13. Разработаны основы теории сложных схем межпланетного перелета, включающих последовательность гравитационных маневров у одной и той же планеты с использованием резонансных гелиоцентрических орбит с угловой дальностью, кратной 180 градусам (пи-резонансных траекторий). Метод определения параметров гравитационного маневра, обеспечивающего выполнение пи-резонансного перелета. Результаты анализа применения пи-резонансных перелетов для формирования рабочей гелиоцентрической орбиты гелиофизического КА типа «Интергелиозонд» с наклонением к плоскости экватора Солнца 30 градусов. Показано, что включение в схемы перелета пи-резонансной траектории с порядком резонанса 1,5:1,5 позволяет сократить длительность выведения КА на рабочую орбиту с 5 до 3,5 лет при незначительном (около 1 %) снижении массы КА, доставляемого на эту орбиту.

Публикации

1. Konstantinov, M.S. Optimization of the Maneuver to Ensure a High Velocity of the Spacecraft Entry into the Atmosphere. Cosmic Research, 2023, Vol. 61, pp. 353–356. DOI: 10.1134/S0010952523700417
2. Konstantinov, M.S. Optimization of the Spacecraft Transfer Maneuver from a Point of the Elliptical Orbit to Another Point of the Same Orbit. Cosmic Research, 2023, Vol. 61, pp. 431–448. DOI: 10.1134/S001095252370034X
3. Kravchenko V.S., Ivanyukhin A.V. Two-impulse orbital transfer based on the solution of Lambert problem with optimal flight time. Proceedings of International Astronautical Congress, IAC, IAC-23-С1.IPB.26, pp. 1-6.
4. Petukhov V.G., Yoon S.W. Optimization of a Low-Thrust Heliocentric Trajectory between the Collinear Libration Points of Different Planets. Cosmic Research, 2023, Vol. 61, pp. 418–430. DOI: 10.1134/S0010952523700351
5. Petukhov V.G., Yoon S.W. End-to-End Optimization of Power-Limited Earth—Moon Trajectories. Aerospace, 2023, 10, 231. DOI: 10.3390/aerospace10030231.
6. Yoon S.W., Petukhov V.G. Minimum-fuel low-thrust trajectories to the Moon, Acta Astronautica, Vol. 210, 2023, pp. 102-116. DOI: 10.1016/j.actaastro.2023.05.006.
7. Yoon S.W., Petukhov V.G., Ivanyukhin A.V. Evaluation of optimal low-thrust interplanetary trajectories with collinear libration points transitions Proceedings of International Astronautical Congress, IAC, IAC-23-С1.6.8, pp. 1-15.
8. Программа для ЭВМ для расчета двухимпульсного перелёта с оптимальными моментами начала и окончания манёвра, основанного на решении задачи Ламберта (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2023686915 от 11.12.2023, авторы: Кравченко Вадим Сергеевич, Иванюхин Алексей Викторович).
9. Svotina V.V., Cherkasova М.V. Space debris removal — Review of technologies and techniques. Flexible or virtual connection between space debris and service spacecraft, Acta Astronautica, Vol. 204, 2023, pp. 840-853. DOI: 10.1016/j.actaastro.2022.09.027.

2024

1. Вычислены оптимальные траектории перелетов с малой тягой между орбитами вокруг Земли и орбитами вокруг Марса или Юпитера с учетом притяжения планет и Солнца на всех участках перелета. Показано, что на оптимальных межпланетных траекториях с малой тягой, рассчитанных с учетом притяжения планет и Солнца на всех участках требуется на 17–19 % (до 2 км/с для перелета к Марсу и около 3,4 км/с для перелета к Юпитеру) меньше затрат характеристической скорости по сравнению с оптимальными траекториями, рассчитанными с использованием математической модели точечных сфер действия.
2. В результате проведенного анализа получено, что использование подходов метода многократной стрельбы с разбиением всей оптимальной траектории на участки с фиксированной угловой дальностью позволяет, при использовании параллельных вычислений, сократить затраты времени на решения задачи примерно в N/2 раз, где N — минимум числа участков разбиения траектории и числа одновременно выполняемых параллельных вычислительных потоков.
3. Разработан параллельный алгоритм решения задачи n-импульсного перелёта для построения траекторий перелёта по сложным маршрутам и соответствующее программное обеспечение. Программно-математическое обеспечение разработано на основе адаптированного под GPU, параллельного алгоритма решения задачи Ламберта, алгоритма оптимизации двухимпульсного перелёта и алгоритма решения задачи маршрутизации траектории перелёта КА для посещения группы объектов на основе динамического программирования и решения задачи о рюкзаке.
4. Получены результаты численного анализа миссий по облёту группы астероидов на основе разработанных подходов и программ параллельного решения задачи оптимизации импульсных перелётов и динамического программирования. Поиск рационального маршрута производился на основе алгоритма динамического программирования. Каждому объекту присваивалось два параметра: «вес» и «стоимость». Элементарный перелёт между двумя объектами рассматривается в двух вариантах: с двигателем большой тяги (на основе решения задачи Ламберта) и с двигателем малой тяги (на основе оценок затрат топлива по формулам Лебедева и Эдельбаума), а на основе затрат характеристической скорости и времени перелёта формировался вектор весов. Вектор цены для астероидов формировался на основе индекса научного интереса или стоимости полезных ископаемых. Проведен анализ миссий по исследованию астероидов группы Амур и наиболее крупных астероидов М-типа главного астероидного пояса в вариантах с пролетом астероидов с произвольной скоростью и с последовательным сближением с выходом на орбиты вокруг астероидов.
5. Получены результаты численного анализа миссий сбора космического мусора в околоземном пространстве на основе разработанных подходов и программ параллельного решения задачи оптимизации импульсных перелётов и динамического программирования. Были получены оценки реализуемости миссии по удалению 5–20 крупногабаритных объектов космического мусора ежегодно одним или несколькими сервисными КА (что, по оценкам, достаточно для противодействия угрозе экспоненциального увеличения околоземного космического мусора) и требования к динамическим характеристиками сервисного КА. Для получения наибольшего эффекта от устранения космического мусора рассматривался «вес» (индекс опасности) значимости того или иного объекта для увода. Для оценки индекса опасности была предложена оригинальная методика его вычисления, основанная на близости орбиты объекта космического мусора к защищаемой области пространства.
6. Проведены оценки параметров долговременной многоцелевой миссии в астероидном поясе для изучения малых тел солнечной системы с пролётных орбит, и предложения по её реализации в период с 2025 по 2035 годы. В частности, были получены оценки количества доступных для исследования объектов из группы Амура, астероидов М-типа и выборки астероидов главного пояса (с орбитами между орбит Марса и Юпитера и незначительными наклонениями к эклиптике), последовательность их посещения, временные и энергетические параметры (необходимый запас характеристической скорости КА) миссии.
7. Проведена оценка параметров миссии по удалению наиболее опасных объектов космического мусора из околоземного пространства перспективным космическим аппаратом с помощью межорбитального буксира на базе транспортного-энергетического модуля. Были получены оценки количества доступных для удаления объектов космического мусора из области низких орбит и в области геостационарной орбиты. Полученные оценки показывают возможность ежегодного удаления 10–20 крупногабаритных объектов космического мусора несколькими КА-буксирами, функционирующими в окрестности наиболее плотно засорённых околоземных орбит.
8. Разработан метод управления вектором тяги ЭРДУ КА в задачах поддержания орбитальных конфигураций спутниковых группировок. В основу предлагаемого подхода положено, что система КА, расположенных на околокруговых орбитах, имеет в своем составе один ведущий КА. Ведомые (остальные) КА осуществляют коррекцию своего орбитального положения относительно ведущего КА.
9. Сформулирована рациональная постановка задачи сквозной оптимизации маршрутов, включающих гравитационные маневры, резонансные и пи-резонансные орбиты. Получена полная система краевых условий и необходимых условий оптимальности.
10. Проведенный анализ показал, что при проектировании траекторий перелета к Юпитеру с использованием гравитационных маневров целесообразно рассматривать возможность использования участков гелиоцентрического перелета резонансных и пи-резонансных с орбитой Земли. На траектории перелета к Юпитеру, по результатам анализа, нецелесообразно использование участков перелета, резонансных с орбитой Венеры.
11. Проведенный анализ показал, что существуют серьезные ограничения, которые не дают возможность утверждать, что пи-резонансные орбиты целесообразно использовать в схемах полета КА в окрестности Юпитера с гравитационными маневрами около Галилеевых спутников. Для проанализированных схем перелета с гравитационными маневрами у Ганимеда, не удалось найти такие параметры схемы перелета, которые давали бы возможность использовать пи-резонансные перелеты без значительного увеличения времени маневрирования или больших требуемых импульсов скорости.
12. Найдена возможность уменьшения требуемого импульса скорости при выходе на низкую окололунную орбиту в схеме низкоэнергетического лунного перелета с лунным гравитационным маневром в начале перелета, связанная с введением в схему перелета промежуточного импульса скорости. Для найденных траекторий величин промежуточного импульса была меньше 10 м/с. При этом величина импульса скорости при переходе на окололунную орбиту осталась на уровне 630...645 м/с, что существенно меньше 800...850 м/с, требуемых для традиционных прямых лунных перелетов.

Публикации

1. Yoon S.W., Petukhov V.G., Ivanyukhin A.V. An approach for end-to-end optimization of low-thrust interplanetary trajectories using collinear libration points, Acta Astronautica, Vol. 221, 2024, pp. 12-25. DOI: 10.1016/j.actaastro.2024.05.015.
2. Svotina V.V. Spacecraft protection against man-made and natural space debris particles, Acta Astronautica, Vol. 225, 2024, pp. 538-555. DOI: 10.1016/j.actaastro.2024.09.053.
3. Svotina V.V., Melnikov A.V., Pokryshkin A.I., Mogulkin A.I., Nikolichev I.A., Popov G.A., Kirillov V.A., Tsaytler Yu.V. Service spacecraft for space debris removal, Acta Astronautica, Vol. 225, 2024, pp. 821-832. DOI: 10.1016/j.actaastro.2024.09.055.
4. Svotina V.V., Khartov S.A. Mathematical modeling of the ion extraction system of a radio-frequency ion source, Acta Astronautica, Vol. 215, 2024, pp. 653-663. DOI: 10.1016/j.actaastro.2023.12.041.
5. Nikolichev I.A., Svotina V.V. Contactless space debris removal from the geostationary orbit protected region, Acta Astronautica, Vol. 215, 2024, pp. 523-533. DOI: 10.1016/j.actaastro.2023.12.019.
6. Программа для ЭВМ для определения последовательности активного увода космического мусора (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2024690110 от 12.12.2024, авторы: Иванюхин Алексей Викторович, Кравченко Вадим Сергеевич).

2022–2023

1. Рассмотрена задача низкоэнергетического межпланетного перелёта космического аппарата (КА) с малой тягой, путём включения в траекторию перелёта пролёта окрестности точек либрации и движения по инвариантным многообразиям. Проанализирована схема перелёта с околоземной орбиты на орбиты других планет с использованием пролёта в окрестностях коллинеарных точек либрации систем Солнце-планета отправления и Солнце-планета прибытия. Перелёт осуществляется с использованием транзитной траектории в окрестности одной из коллинеарных точек либрации L1 или L2 и являющейся её инвариантным многообразием. В такой схеме инвариантные многообразия точек либрации являются элементами, соединяющими околопланетные участки с гелиоцентрическим, при этом формируется непрерывная траектория перелёта, в котором даты пролёта точек либрации, а также моменты выхода на инвариантные многообразия и схода с них являются выбираемыми параметрами (и подлежат оптимизации). Рассмотрена задача расчета низкоэнергетических траекторий перелёта космического аппарата с малой тягой к Луне на орбиту временного захвата. Перелёт осуществляется с использованием транзитной траектории в окрестности одной из коллинеарных точек либрации L1 или L2 системы Земля-Луна. Использование транзитной траектории позволяет снизить затраты топлива на перелёт за счёт использования динамики движения КА в системе Земля-Луна.
2. Получены и проанализированы условия трансверсальности для стыковки участков околопланетных, межпланетных участков движения космического аппарата и участков движения по инвариантным многообразиям. В рамках реализации разработанной методики оптимизации низкоэнергетических траекторий перелёта, основанной на использовании принципа максимума Понтрягина для формулировки соответствующей краевой задачи был получен полный набор необходимых условий оптимальности траектории перелёта, включая условия трансверсальности для оптимальной стыковки участков движения по инвариантным многообразиям точек либрации и даты её пролёта. Полученные условия оптимальности траектории перелёта позволяют рассматривать траектории космического аппарата с моделью функционирования двигателя малой тяги в форме: идеально-регулируемого двигателя ограниченной мощности (ОМ-задачи) и двигателя ограниченной тяги (ОТ-задачи).
3. Разработан эффективный метод решения задачи низкоэнергетического межпланетного перелёта космического аппарата с идеально-регулируемым двигателем, основанный на разделении вычислительной схемы на два уровня по оптимизируемым параметрам схемы перелёта: оптимизацию дат пролёта точек либрации и оптимизацию траекторий перелёта между опорными орбитами и инвариантными многообразиями.
4. Разработана методика построения низкоэнергетической траектории перелета в рамках плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел (ПКОЗЧТ). При рассмотрении данного варианта постановки траекторной проблемы удается выделить ряд важных свойств и особенностей низкоэнергетических перелётов, в первую очередь, относящихся к конфигурации небесных тел при которых удается построить перелеты с заданными характеристиками. Решения в рамках ПКОЗЧТ могут быть использованы в качестве начального приближения к решению основной задачи (без рассматриваемых допущений).
5. Предложена формулировка оптимизационной задачи для получения рациональных схем маневрирования в спутниковых системах планет-гигантов основанная на упрощённой плоской модели движения КА с малой тягой, и использовании простых законов управления ориентацией вектора тяги (трансверсальной и тангенциальной) и оптимизацией длительностей активных участков.
6. Проведён анализ особенностей движения космического аппарата с малой тягой в системах парных объектов Солнечной системы. Проведено моделирование движении КА в окрестности парных карликовых планет и астероидов находящихся на различном удалении от Солнца и обладающих разными соотношениями масс и орбитальными элементами (относительного движения) в рамках ограниченной круговой задачи трёх тел, эллиптической задачи трёх тел и биэллиптической задачи четырёх тел. Рассмотрена возможность выхода КА с малой тягой с подлётной межпланетной траектории на орбиты кеплеровского типа, орбиты задачи трёх тел и орбиты временного баллистического захвата. В частности, рассмотрено движение в окрестности пар: Плутон — Харон, Патрокл — Менетий, Антиопа — S/2000 (90) 1, (317) Роксана — Олимпиада, (136199) Эрида — Дисномия, (185851) 2000 DP107 — S/2000 (2000 DP107) 1.
7. Разработан метод сквозной оптимизации низкоэнергетических межпланетных траекторий КА, оснащенных нерегулируемыми электроракетными двигательными установками (ЭРДУ), в окрестность треугольных точек либрации системы Солнце-Юпитер для исследования астероидов групп «Греки» и «Троянцы». Предложенный метод позволяет проектировать траектории перелёта в рамках модели Солнце-Юпитер-Земля-КА на всех этапах полёта и получать в результате непрерывную траекторию перелёта. Методика состоит из двух этапов. На первом решается двухимпульсная задача перелёта от грависферы Земли к заданному астероиду, при этом подбором даты и длительности перелёта минимизируется суммарный импульс скорости, а сферическими координатами пересечения грависферы Земли удаётся обеспечить заданный перицентр отлётной гиперболы. На втором происходит переход от импульсного приближения к перелёту с малой тягой, при этом считается известным импульс скорости, который обеспечивает разгонный блок при отлёте с опорной околоземной орбиты.
8. Проведён анализ низкоэнергетических межпланетных траекторий к Марсу для исследования спутников Фобос и Деймос в рамках разработанной методики проектирования траекторий межпланетных перелётов, включающих в себя пролёт окрестностей точек либрации L1 и L2 по транзитным траекториям, образованным их инвариантными многообразиями.

Публикации

1. Иванюхин А.В., Ивашкин В.В., Петухов В.Г., Юн С.У. Проектирование низкоэнергетических перелетов к Луне c малой тягой на траектории временного захвата // Космические исследования. — 2023. — Т. 61. — № 5. — C. 368-381. DOI: 10.31857/S0023420623700164.
2. Nikolichev I.A., Sesyukalov V.A. Design of a Low-Energy Earth-Moon Flight Trajectory Using a Planar Auxiliary Problem. Applied Sciences, 2023, 13 (3), 1967. DOI: 10.3390/app13031967.

2023–2024

1. Рассмотрена задача низкоэнергетического межпланетного перелёта космического аппарата (КА) с двигателем ограниченной тяги в постановке задачи совместной оптимизации траектории перелёта и основных проектных параметров на минимум тяги, при включении в траекторию перелёта пролёта окрестности точек либрации и участков движения по инвариантным многообразиям. Получены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, включая: условие минимума тяги двигателя при заданной скорости истечения, условия трансверсальности для оптимальной стыковки участков движения по инвариантным многообразиям точек либрации и даты её пролёта. На основе полученных условий сформулирована многоточечная краевая задача (T_min-задача).
2. Рассмотрена задача прямого низкоэнергетического межпланетного перелёта космического аппарата с двигателем ограниченной тяги в постановке задачи совместной оптимизации траектории перелёта и основных проектных параметров на максимум полезной нагрузки, при включении в траекторию перелёта пролёта окрестности точек либрации и участков движения по инвариантным многообразиям. Получены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, включая: условия максимума массы полезной нагрузки, условия трансверсальности для оптимальной стыковки участков движения по инвариантным многообразиям и дат пролёта точек либрации. На основе полученных условий сформулирована многоточечная краевая задача (T_opt-задача).
3. Предложен метод решения T_min-задачи на основе её погружения в однопараметрическое семейство решений, параметром которого является скорость истечения (или 1 / скорость истечения), так как для каждого значения скорости истечения существует только одно значение минимальной тяги в рамках выбранной экстремали. При таком подходе решение задачи на минимум тяги с любым наперёд заданным значением скорости истечения сводится к интегрированию уравнений задачи Коши метода продолжения. Начальной точкой для интегрирования выбран случай без массового расхода (т. е. бесконечная скорость истечения), что соответствует случаю минимального постоянного по величине реактивного ускорения. Очевидно, что такое решение всегда существует и может быть получено методом продолжения из тривиального начального приближения (пассивного движения по начальной орбите) или из решения с идеально-регулируемым двигателем.
4. Предложен метод решения T_opt-задачи, использующий решение T_min-задачи в качестве начального приближения. В ходе решения T_min-задачи определяется граница области существования решений, и начальное приближение T_opt-задачи целесообразно выбрать на этой границе, в точке, где выполнено условие оптимальности по скорости истечения (такая точка всегда существует), рассматривая тягу как параметр продолжения, увеличивая её до момента выполнения условия оптимальности по тяге. Эта точка определяет решение задачи на максимум полезной массы КА. В сочетании с предыдущей задачей предложенный метод включает рассматриваемую задачу в единую схему решения, обладающую высокой степенью надёжности, и позволяет получать решения из тривиальных начальных приближений, все рассмотренные вспомогательные задачи всегда имеют решение. Таким образом, процесс их получения может быть ограничен только точностью и устойчивостью используемых численных методов.
5. Рассмотрена задача проектирования низкоэнергетических перелётов к Луне с комбинацией большой и малой тяги на траектории временного захвата, для максимизации конечной массы. Перелёт с большой тягой представлен в двухимпульсной схеме с опорной круговой орбиты на промежуточную эллиптическую с изменением наклонения, затраты топлива на перелёт вычислялись по формуле Циолковского. На промежуточной орбите происходил сброс массы — отделение разгонного блока. Перелёт с промежуточной орбиты на транзитную траекторию к Луне происходит с помощью двигателя малой тяги КА. Получены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.
6. Проведён предварительный анализ предложенной схемы низкоэнергетических перелётов к Луне с комбинацией большой и малой тяги на траектории временного захвата. Для сокращения времени перелёта рассмотрен вариант импульсного перелёта на промежуточные (оскулирующие) орбиты, образующиеся в процессе перелёта с малой тягой в некотором базовом варианте решения задачи (например, при перелёте с геопереходной орбиты). В независимости от точки выхода на оскулирующую орбиту дальнейший участок оптимального перелёта с малой тягой совпадает с уже полученным ранее в базовом варианте. Этот подход позволяет оценить потенциал комбинированной схемы перелёта и сильно сокращает объём необходимых вычислений. При этом будет сокращаться суммарное время перелёта и ухудшаться массовая эффективность перелёта, за счёт сокращения длительности участка с малой тягой, что позволяет построить Парето фронт для пары длительность перелёта — конечная масса КА.
7. Предложена схема выхода на орбиту в окрестности спутника планеты-гиганта с подлётной низкоэнергетической траектории полученной на основе транзитной траектории в окрестности коллинеарной точки либрации L1 и образованной её устойчивым и неустойчивым инвариантными многообразиями за счёт использования серии гравитационных манёвров и ЭРДУ малой тяги. В качестве финальной цели маневрирования в спутниковой системе рассмотрен выход на траекторию временного (баллистического) захвата спутником планеты.
8. Осуществлено решение ряда тестовых задач перелета к Юпитеру и Сатурну в рамках метода грависфер нулевой протяженности при наличии маневров в глубоком космосе.
9. Разработан метод анализа гравитационных манёвров в рамках модели конечных сфер действия и задачи трёх тел, основанный на решении задачи о двух неподвижных центрах. Предлагается рассматривать межпланетную траекторию с гравитационными манёврами разделяя её на участки доминирования притягивающего тела — на основе метода грависфер конечных размеров. И учитывать при движении внутри гвисферы притяжение остальных тел как постоянное (на некотором промежутке времени) ускорение. Для реализации предложенного метода разработана гомотопия между решениями задачи Ламберта и задачей двух неподвижных центров (представленных в форме Лагранжа) с использованием в качестве параметра продолжения величины ускорения удалённого тела. Задача Ламберта при этом также используется в рамках метода грависфер конечной протяженности — со стыковкой участков на грависфере планеты.
10. Сделана оценка возможности снижения подлётного гиперболического избытка скорости при реализации межпланетного перелёта к планетам-гигантам за счёт гравитационных манёвров у спутников при маневрировании в спутниковых системах планет-гигантов с малой тягой, с целью выхода на ограниченную орбиту (с отрицательной константой кеплеровской энергии) у планеты.
11. Проведён анализ рациональных схем маневрирования КА с ЭРДУ в спутниковых системах планет-гигантов в рамках уточненных моделей движения, учитывающих гравитационное влияние нескольких небесных тел.
12. Разработан новый численный метод решения задачи Ламберта (Эйлера-Ламберта) как обратной задачи баллистики, основанный на работах Д.Е. Охоцимского по анализу множества траекторий перелёта между двумя заданными точками в центральном ньютоновском поле. Метод основан на решении уравнения Клеро для задачи Кеплера. Проведён качественный анализ решений. Разработан оригинальный метод определения длительности перелёта.
13. Проведён анализ геометрически устойчивых (замороженных) орбит искусственных спутников планет при наличии возмущений от нецентральности гравитационного поля и атмосферы. Разработан метод проектирования околокруговых геометрически устойчивых орбит искусственных спутников с использованием корректирующих двигательных установок малой тяги. Алгоритм коррекции орбиты предполагает, что на каждом витке орбиты располагается один активный участок работы двигательной установки.

Публикации

1. Ельников Р.В., Жуков Г.Е. Методика поддержания геометрически устойчивых солнечно-синхронных орбит с помощью электроракетных двигателей, Космонавтика и ракетостроение, 2024, № 3(136), с. 5-19.
2. Иванюхин А.В., Ивашкин В.В. Решение задачи Эйлера—Ламберта на основе баллистического подхода Охоцимского—Егорова // Астрономический вестник. Исследования Солнечной системы. — 2024. — Т. 58. — № 6. — C. 771-782. DOI: 10.31857/S0320930X24060124
3. Ivanyukhin A.V., Ivashkin V.V., Petukhov V.G., Yoon S.W. Low-Energy Lunar Transfer Design Using High- And Low-Thrust on Ballistic Capture Trajectories Proceedings of the International Astronautical Congress, IAF Astrodynamics Symposium, Vol. 2, pp. 896-905, Paper IAC-23.C1.9.7
4. Ивашкин В.В. О применении метода Охоцимского—Егорова для решения задачи Эйлера—Ламберта // Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки. — 2024. — Т. 514. — № 1. — C. 58-62. DOI: 10.31857/S2686740024010093
5. Ivashkin V.V., Ivanyukhin A.V. (2024). Okhotsimsky-Egorov Method for Solving the Euler-Lambert Problem, Proceedings of the XII All Russian Scientific Conference on Current Issues of Continuum Mechanics and Celestial Mechanics (CICMCM 2023), Springer Proceedings in Physics, Vol. 412., Springer, Singapore. DOI: 10.1007/978-981-97-1872-6_49
6. Программа для ЭВМ для оптимизации низкоэнергетических межпланетных перелетов космического аппарата с идеально-регулируемым двигателем малой тяги (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2024618443 от 11.04.2024, авторы: Иванюхин Алексей Викторович).

2019

1. Разработаны теоретические основы оптимизации возмущенных траекторий с использованием комплексно-дуальных чисел:
   1. Разработаны метод непрерывного продолжения по параметру с применением метода комплексного шага и автоматического дифференцирования с использованием дуальных чисел для вычисления производных в правых частях дифференциальных уравнений метода продолжения, экспериментальное программное обеспечение для проверки работоспособности разработанных методов, получены результаты тестовых расчетов.
   2. Получены результаты анализа вариантов автоматического дифференцирования гамильтониана с использованием дуальных чисел со скалярной и векторной дуальной частью, результаты тестовых расчетов с использованием дуальных чисел со скалярной и векторной дуальной частью.
   3. Представлены теоретические основы комплексно-дуальной алгебры, метод вычисления смешанных производных второго порядка с использованием дуальных чисел с комплексными коэффициентами, метод оптимизации возмущенных траекторий космических аппаратов с использованием комплексно-дуальных чисел.
2. Проведено исследование динамики плоского движения транспортируемого объекта под действием ионного пучка:
   1. Разработана математическая модель, описывающая плоское движение механической системы, состоящей из пассивного транспортируемого объекта и активного космического аппарата, оснащенного ионным двигателем.
   2. Получен закон управления направлением, создающего ионный пучок двигателя активного космического аппарата, обеспечивающий стабилизацию угловых колебаний транспортируемого объекта в положении равновесия.
   3. Представлены бифуркационные диаграммы, показывающие расположение особых точек на фазовом портрете, описывающим движение транспортируемого объекта на круговой орбите вокруг центра масс, в зависимости от параметра, описывающего отношение силы тяги ионного двигателя к расстоянию до центра масс Земли, для различных случаев положения центра масс объекта и расстояния между транспортируемым объектом и активным космическим аппаратом.
3. Разработаны теоретические основы и метод оптимизации многовитковых траекторий межорбитальных перелетов с ограничением на поглощенную дозу радиации:
   1. Разработаны адаптированная к применению при оптимизации межорбитальных перелетов космического аппарата с помощью электроракетной двигательной установки модель накопления дозы космической радиации, метод осреднения мощности дозы на круговых орбитах, метод аппроксимации мощности дозы двумерными сплайнами высокого порядка.
   2. Сформулированы постановка и подход к решению задачи оптимизации траекторий многовитковых перелётов с ограничением на поглощенную дозу на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина и метода продолжения по параметру. Получена программная реализация предлагаемого решения задачи.
   3. Представлены результаты анализа возможности снижения поглощенной дозы радиации при выведении многоразового межорбитального буксира с ядерной электроракетной установкой с низкой круговой орбиты на геостационарную. Проведено сравнение эффективности предлагаемого метода с методом утолщения стенок.

Публикации: —

2020

1. Проведены разработка, отладка и тестирование библиотеки программ для вычислений в комплексно-дуальной области и расчета первых и смешанных вторых производных дифференцируемых функций нескольких вещественных переменных. Разработанная библиотека программ использовалась в составе программного обеспечения для оптимизации возмущенных траекторий космических аппаратов.
2. Проведена разработка метода и программно-математического обеспечения для оптимизации возмущенных траекторий космических аппаратов с использованием алгебры комплексно-дуальных чисел. Проведены тестовые расчеты возмущенных многовитковых траекторий межорбитальных перелетов космических аппаратов с двигателями конечной тяги с использованием разработанного метода и программно-математического обеспечения.
3. Проведен теоретический анализ задачи оптимизации возмущенных импульсных траекторий космических аппаратов. Предложены два варианта методов оптимизации таких траекторий, включая метод продолжения из оптимальной траектории с идеально-регулируемым двигателем малой тяги в оптимальную импульсную траекторию.
4. Проведена разработка математической модели оптимального движения многовиткового перелета космического аппарата с двигателем конечной (малой) тяги с использованием равноденственных элементов и угловой независимой переменной, обеспечивающая высокую вычислительную устойчивость решения задачи оптимизации траектории. Предложен метод определения области существования решения задачи межорбитального перелета с фиксированной угловой дальностью и свободным (оптимальным) временем перелет на плоскости «удельный импульс — тяга двигательной установки» на основе решения задачи минимизации тяги. Построена область существования решения для тестовой задачи. Проведен численный анализ задачи минимизации тяги и выявлены основные свойства траекторий с минимальной тягой, включая возможность существования нескольких экстремумов рассматриваемой задачи.
5. Проведена формализация задач сквозной оптимизации последовательного облета космическим аппаратом с электроракетной двигательной установкой заданной последовательности объектов космического мусора на околоземной орбите и их увода на орбиты захоронения. Проведены вывод необходимых условий оптимальности в этой задаче и разработка методики решения задачи сквозной оптимизации. Проведена формализация и вывод полной системы необходимых условий оптимальности в задаче облета космическим аппаратом с электроракетной двигательной установкой заданной последовательности астероидов.
6. Разработана схема эксперимента, подготовлено экспериментальное оборудование и проведено экспериментальное определение коэффициента аккомодации импульса ионов и силы, действующей на мишень, при облучении мишени ионным пучком под различными углами.
7. Проведено исследование динамики пространственного движения транспортируемого ионным пучком пассивного объекта, включая разработку математической модели движения, вычисление сил и моментов ионного потока, выбор благоприятного режима транспортировки, управления ионным потоком. Проведено моделирование транспортировки цилиндрического объекта на геостационарной орбите и проанализировано влияние параметров системы на движение пассивного объекта и влияние колебаний объекта на величину осредненной силы ионного потока.
8. Проведена разработка метода проектирования траекторий возврата автоматического космического аппарата от Луны на Землю с учетом требований по старту космического аппарата с поверхности Луны или с окололунной орбиты и требований по посадке возвращаемого аппарата в заданном районе Земли. Проведен анализ проблемы аварийного (срочного) возврата пилотируемого космического аппарата с окололунной орбиты на Землю.
9. Проведена разработка численных методов проектирования квазипериодических гало-орбит вокруг коллинеарных точек либрации и методов расчета коррекций движения для их поддержания.

Публикации

1. Программа для ЭВМ для оптимизации возмущенных траекторий космических аппаратов с использованием алгебры комплексно-дуальных чисел (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020619491 от 18.08.2020, авторы: Петухов Вячеслав Георгиевич).
2. Программа для ЭВМ для определения параметров траектории пассивного движения центра масс возвращаемой ракеты, совершающей перелет из заданной точки поверхности Луны на Землю (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020663242 от 26.10.2020, авторы: Константинов Михаил Сергеевич, Николичев Илья Андреевич).
3. Ivanyukhin A., Korolevskiy E., Starchenko A. (2020). Trajectory Optimization of a Lunar Direct Landing from Halo-Orbits. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 927. DOI: 10.1088/1757-899X/927/1/012028
4. Starchenko A. (2020). Biharmonic spline interpolation of spatial dose rate distribution in the minimum dose trajectory optimization problem. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 927. 012056. DOI: 10.1088/1757-899X/927/1/012056.
5. Kulkov V., Markin N., Egorov Yu. (2020). Issues of controlling the motion of a space object by the impact of the ion beam. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 927. 012051. DOI: 10.1088/1757-899X/927/1/012051

2021

1. Проведена доработка численного метода, а также разработка на его основе программно-математического обеспечения для оптимизации возмущенных импульсных траекторий. Проведена отладка и тестирование разработанного программно-математического обеспечения на примере оптимального импульсного перелета в центральном гравитационном поле и с учетом второй зональной гармоники геопотенциала.
2. Проведено исследование типовых оптимальных маневров космических аппаратов с двигателями большой и малой тяги на околокруговых низких околоземных орбитах в составе орбитальной группировки. Проведена разработка методик, позволяющих производить оценку энергетических затрат для выполнения типовых маневров: производить оценку затрат рабочего тела, суммарного импульса тяги, суммарного времени работы двигательной установки за срок активного существования. С использованием разработанных методик проведены тестовые расчеты типовых орбитальных маневров и эволюции параметров рабочих орбит малых космических аппаратов, входящих в состав спутниковой группировки и расположенных на околокруговых солнечно-синхронных орбитах.
3. Проведена разработка методы проектирования замкнутых траекторий многоразового космического буксира с электроракетной двигательной установкой между околоземной и окололунной орбитами, основанные на квазиоптимальном управлении с обратной связью и методе функций Ляпунова. Метод, основанный на квазиоптимальном управлении с обратной связью, применим для проектирования траекторий перелета между круговыми околоземной и окололунной орбитами, а метод, основанный на функциях Ляпунова — для проектирования траекторий между произвольными эллиптическими околоземной и окололунной орбитами. Для обоснования схем перелета с использованием квазиоптимального управления с обратной связью использовались результаты оптимизации траекторий перелета между околоземной и окололунной орбитами в строгой постановке, полученные с помощью специально разработанного численного метода.
4. Проведена разработка методика построения оценки топливо-энергетических затрат при реализации цепочки последовательных перелетов космического аппарата с электроракетной двигательной установкой в рамках рассмотрения задачи множественного облета объектов-целей, в качестве которых могут выступать астероиды или объекты космического мусора.
5. Проведены экспериментальные исследования потока распыленного материала мишени при ее облучении ионным пучком. Исследования характеристик потока распыленного материала уводимого объекта необходимы для реализации бесконтактного увода объектов космического мусора в ионном пучке, в частности, для оценки осаждения распыленного материала на поверхностях сервисного космического аппарата. В процессе проведения работ по этапу проведены работы по экспериментальному определению вида одной из основных характеристик, определяющих параметры потока распылённых частиц, — индикатрисы распыления.
6. Проведена разработка математической модели, описывающей плоское движение космического объекта с прикрепленными упругими элементами. Исследовано влияние ионного потока на угловое движение объекта с прикрепленными упругими панелями. Проведено численное моделирование движения космического объекта с упругими панелями на круговой орбите под действием ионного потока. Предложена основанная на вычислении энергии методика управления осью ионного потока, обеспечивающая перевод обдуваемого космического объекта в требуемый режим угловых колебаний. Проведено исследование влияния параметров потока и положения центра масс на генерируемые ионным потоком силу и момент. Разработаны рекомендации по выбору параметров ионного потока.
7. Проведена разработка методов проектирования траекторий перелета в окололунном пространстве, включая импульсные перелеты и перелетов с малой тягой. Проведено исследование задачи проектирования возмущенных импульсных траекторий между гало-орбитой и низкой окололунной орбитой и прямых траекторий посадки на Луну с гало-орбиты в рамках ограниченной круговой задачи трех тел. Проведена оптимизация межорбитального перелета с малой тягой в окололунном пространстве с использованием эфемеридной модели возмущенного движения, учитывающей притяжение Луны, Земли и Солнца и точные эфемериды этих небесных тел.
8. Проведена разработка метода проектирования «обходных» импульсных траекторий низкоэнергетических перелетов к Луне с выведением КА на низкую окололунную орбиту (WSB-траекторий). Проведено исследования WSB-траектории с двумя и тремя импульсами скорости. Для апробации метода выполнено проектирование низкоэнергетических перелетов на круговую селеноцентрическую орбиту высотой 100 км для эпохи старта в начале 2024 года. Проведена разработка методов проектирования низкоэнергетических перелетов к Луне с использованием устойчивых и неустойчивых многообразий точек либрации L1 и L2 системы Земля-Луна и гало-орбит вокруг них. Исследованы траектории с малой тягой для реализации низкоэнергетических перелетов к Луне с участками движения по этим многообразиям.

Публикации

1. Petukhov V.G., Ivanyukhin A.V., Popov G.A., Testoyedov N.A., Yoon S.W. Optimization of finite-thrust trajectories with fixed angular distance, Acta Astronautica, 197 (2022) 354–367. DOI: 10.1016/j.actaastro.2021.03.012.
2. V.A. Obukhov, V.A. Kirillov, V.G. Petukhov, G.A. Popov, V.V. Svotina, N.A. Testoyedov, I.V. Usovik, Problematic issues of spacecraft development for contactless removal of space debris by ion beam, Acta Astronautica, Vol. 181, 2021, pp. 569-578. DOI: 10.1016/j.actaastro.2021.01.043.
3. V.S. Aslanov, A.S. Ledkov, M.S. Konstantinov, Attitude motion of a space object during its contactless ion beam transportation, Acta Astronautica, Vol. 179, 2021, pp. 359-370. DOI: 10.1016/j.actaastro.2020.11.017.
4. Ivanyukhin A., Petukhov V. Optimization of Multi-revolution Limited Power Trajectories Using Angular Independent Variable. Journal of Optimal Theory and Applications, 191, pp. 575–599 (2021). DOI: 10.1007/s10957-021-01853-8.
5. Aslanov V., Ledkov A., Petukhov V. (2021). Spatial Dynamics and Attitude Control During Contactless Ion Beam Transportation. Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 44. 1-6. DOI: 10.2514/1.G005561.
6. Petukhov V.G., Yoon S.W. Optimization of perturbed spacecraft trajectories using complex dual numbers. Part 1: Theory and method. Cosmic Research, 59 (5) (2021) 401–413. DOI: 10.1134/S0010952521050099.
7. Petukhov V.G., Yoon S.W. Optimization of perturbed spacecraft trajectories using complex dual numbers. Part 2: Numerical Results. Cosmic Research, 59 (6) (2021) 517–528. DOI: 10.1134/S0010952521060083.
8. Программа для ЭВМ для оптимизации импульсных траекторий космического аппарата методом продолжения из оптимальной траектории космического аппарата с идеально-регулируемым двигателем (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2021667826 от 03.11.2021, авторы: Иванюхин Алексей Викторович, Петухов Вячеслав Георгиевич).
9. Obukhov V.A., Kirillov V.A., Petukhov V.G., Pokryshkin A.I., Popov G.A., Svotina V.V., Testoyedov N.A., Usovik I.V. Control of a service satellite during its mission on space debris removal from orbits with high inclination by implementation of an ion beam method. Acta Astronautica, 2022, Vol. 194, рр. 390-400. DOI: 10.1016/j.actaastro.2021.09.041.